Введение в криптографию с открытым ключом

Криптография с открытым ключом, или асимметричная криптография, была впервые представлена публично в 1976 году. Основной принцип заключается в использовании пары ключей: публичного ключа для шифрования и приватного ключа для дешифрования. В этом обзоре мы рассмотрим основные аспекты и фундаментальные алгоритмы криптографии с открытым ключом, а также базовые математические концепции, необходимые для их понимания.

Основы Криптографии с Открытым Ключом

Симметричная vs. Асимметричная Криптография

Симметричная криптография использует один и тот же ключ для шифрования и дешифрования сообщений. Основные недостатки симметричной криптографии включают проблему распределения ключей и необходимость хранения большого количества ключей в сетях с большим числом пользователей.

Асимметричная криптография решает эти проблемы, используя пару ключей: публичный для шифрования и приватный для дешифрования. Это позволяет безопасно передавать ключи через незащищенные каналы связи.

Основные Механизмы Безопасности

1. Установление ключей: Протоколы для безопасного установления секретных ключей по незащищенному каналу, например, Диффи-Хеллман или RSA.
2. Неподделываемость: Обеспечивается с помощью цифровых подписей, таких как RSA, DSA или ECDSA.
3. Целостность: Цифровые подписи также обеспечивают целостность сообщений.
4. Идентификация: Использование цифровых подписей для аутентификации пользователей.
5. Шифрование: Алгоритмы, такие как RSA или Elgamal, обеспечивают шифрование данных.

Важные Алгоритмы

1. Схемы на основе факторизации целых чисел: Например, RSA.
2. Схемы на основе дискретных логарифмов: Примеры включают Диффи-Хеллман, Elgamal и DSA.
3. Схемы на основе эллиптических кривых: Например, ECDH и ECDSA.

Длины Ключей и Уровни Безопасности

Для обеспечения различных уровней безопасности используются ключи разной длины. Таблица ниже показывает рекомендуемые длины ключей для различных алгоритмов:

Основные Математические Концепции

Для понимания алгоритмов криптографии с открытым ключом необходимо знание некоторых разделов теории чисел, включая алгоритм Евклида и функцию Эйлера.

Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида используется для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух чисел. Он работает путем итеративного нахождения остатка от деления. Расширенный алгоритм Евклида позволяет также найти коэффициенты линейной комбинации, что важно для вычисления обратных элементов по модулю.

Функция Эйлера

Функция Эйлера ( \varphi(m) ) вычисляет количество целых чисел от 1 до ( m ), которые взаимно просты с ( m ). Формула для вычисления функции Эйлера для числа ( m ) с ( n ) уникальными простыми множителями ( p_1, p_2, \ldots, p_n ) такая:
[ \varphi(m) = m \left(1 – \frac{1}{p_1}\right) \left(1 – \frac{1}{p_2}\right) \ldots \left(1 – \frac{1}{p_n}\right) ]

Малая теорема Ферма и теорема Эйлера

Эти теоремы являются основой для многих криптографических алгоритмов. Малая теорема Ферма утверждает, что для любого целого числа ( a ) и простого числа ( p ):
[ a^{p-1} \equiv 1 \ (\text{mod} \ p) ]
Теорема Эйлера является обобщением малой теоремы Ферма.

Заключение

Криптография с открытым ключом представляет собой мощный инструмент для обеспечения безопасности в цифровом мире. Она решает многие проблемы симметричной криптографии, предлагая методы для безопасного распределения ключей, аутентификации и неподделываемости. В последующих главах мы подробнее рассмотрим основные алгоритмы и их математические основы.

Author: admin